Cách Xét Tính Liên Tục Của Hàm Số - Các Dạng Bài Tập Và Ví Dụ

1. Các dạng toán về xét tính liên tiếp của hàm số và cách thức giải

Phần kỹ năng và kiến thức về tính chất liên tiếp của hàm số là chủ thể cực kỳ cần thiết vô lịch trình toán 11 bậc trung học phổ thông. Bài tập luyện xét tính liên tiếp của hàm số xuất hiện nay thật nhiều trong số đề đánh giá, đề đua trung học phổ thông Quốc gia trong những năm. Để ăn kiên cố điểm của dạng bài bác này, những em nằm trong VUIHOC điểm lại 6 dạng toán về xét tính liên tiếp của hàm số, kèm cặp cách thức và ví dụ giải cụ thể nhé!

1.1. Dạng 1: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điểm

Phương pháp giải công cộng của dạng xét tính liên tiếp của hàm số bên trên 1 điều như sau:

Cho hàm số nó = f(x). Xét tính liên tiếp của hàm số nó bên trên điểm x = x₀, học viên rất có thể triển khai theo gót 2 cơ hội sau đây:

Cách 1:

• Bước 1: Tính độ quý hiếm của hàm số nó bên trên x₀ (Tính f(x₀))

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao được hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Cách 2: 

• Bước 1: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)$

• Bước 3: Nếu độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao với hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀.

Ví dụ minh họa dạng 1:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp của hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}$ bên trên điểm x = -2

Giải:

Ta thấy f(-2) ko xác lập, do đó hàm số f(x) ko liên tiếp bên trên x = -2.

Ví dụ 2: 

a. Tìm $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)$

b. Xét tính liên tiếp của f(x) bên trên x = 2 và x = -2

Giải:

a. Ta với $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{3-\sqrt{x^{2}+5}}{x^{2}-4}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{9-x^{2}-5}{(x^{2}-4)(3+\sqrt{x^{2}+5})}=\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}\frac{-1}{3+\sqrt{x^{2}+5}}=-16$

b. Từ phần a, tao rất có thể suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{2}}{lim}f(x)=f(2)$. Như vậy, hàm số tiếp tục cho tới liên tiếp bên trên điểm x = 2. trái lại, hàm số nó = f(x) ko xác lập bên trên x = -2 nên nó ko liên tiếp bên trên x = -2.

1.2. Dạng 2: Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng tầm, đoạn hoặc tập luyện xác định

Hàm số f(x) liên tiếp bên trên một quãng, khoảng tầm hoặc tập luyện xác lập nếu như nó liên tiếp bên trên từng điểm bên trên đoạn, khoảng tầm hoặc tập luyện xác lập bại.

Lưu ý:

• Hàm số f(x) liên tiếp bên trên đoạn [a;b] khi hàm số bại liên tiếp bên trên khoảng tầm (a;b) và vừa lòng điều kiện:

$\underset{x\rightarrow a^{+}}{lim}f(x)=f(a),\underset{x\rightarrow b^{-}}{lim}f(x)=f(b)$

• Hàm số nhiều thức thông thường với đặc thù liên tiếp bên trên toàn cỗ tập luyện số thực R.

• Hàm số phân thức hữu tỉ, hàm con số giác liên tiếp bên trên từng khoảng tầm của tập luyện xác lập của bọn chúng.

Phương pháp xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng tầm, đoạn hoặc tập luyện xác định:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính liên tiếp bên trên R của hàm số sau:

$\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{2}+5x}{x} và khi \, x \neq 0\\ 
5 và khi \, x=0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy khi $x\neq 0$, hàm số đề bài bác là hàm phân thức và trọn vẹn xác lập nên f(x) liên tiếp bên trên từng khoảng tầm $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$.

Do vậy, tao cần thiết xét tính liên tiếp của hàm số bên trên điểm x = 0. Ta có:

• Giá trị của hàm số bên trên x = 0: f(0) = 5 

• Giới hạn của f(x) bên trên x = 0 là:

$\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}\frac{x^{2}+5x}{x}=\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}(x+5)=5$

Vì $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(0)$, do đó hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0.

Kết luận: Hàm số đề bài bác liên tiếp bên trên tập luyện R.

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số sau bên trên tập luyện xác định:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
2x-1 và khi \, x <  0\\ 
\sqrt{x} và khi \, x\geq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: Ta thấy tức thì, tập luyện xác lập của f(x) là R.

Trường thích hợp x < 0: $f(x) = 2x - 1$ là hàm số liên tiếp.

Trường thích hợp x > 0: $f(x) = \sqrt{x}$ là hàm số liên tiếp.

Từ bại suy đi ra, tao chỉ việc xét tăng tính liên tiếp của hàm số bên trên x = 0 là rất có thể Kết luận.

Tại x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}\sqrt{x}=0$

$\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}(2x-1)$

$=-1$

Ta thấy: $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=f(0)\neq \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$, suy đi ra hàm số bị con gián đoạn bên trên x=0.

Kết luận: hàm số tiếp tục cho tới ko liên tiếp bên trên tập luyện xác lập.

Đăng ký tức thì sẽ được những thầy cô tổ hợp kỹ năng và kiến thức và xây đắp suốt thời gian ôn đua chất lượng nghiệp trung học phổ thông sớm kể từ bây giờ

1.3. Dạng 3: Tìm điểm con gián đoạn của hàm số f(x)

Điểm con gián đoạn của hàm số f(x) tức thị tồn bên trên 1 điều x₀ khiến cho hàm số f(x₀) ko liên tiếp.

Để giải được bài bác tập luyện dạng dò xét điểm con gián đoạn của hàm số f(x), tao thực hiện theo lần lượt theo gót công việc sau đây:

• Bước 1: Tìm độ quý hiếm f(x₀)

• Bước 2: Tính độ quý hiếm $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)$

• Bước 3: So sánh f(x₀) rồi rút đi ra Kết luận. Nếu thỏa mãn: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$ thì tao Kết luận hàm số liên tiếp bên trên $\underset{x\rightarrow x_{0}^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow x_{0}^{-}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

Nếu $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)\neq f(x_{0})$ tao Kết luận hàm số ko liên tiếp bên trên $x_{0}$.

• Bước 4: Kết luận theo gót đòi hỏi của đề bài bác.

Các em nằm trong VUIHOC xét 2 ví dụ tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài bác tập luyện này nhé!

Ví dụ 1: Dùng khái niệm, xét tính liên tiếp của f(x) = x³ + 2x - 1 bên trên x₀ = 3.

Giải:

Ta có:  $f(x)=x^{3}+2x-1 \Rightarrow f(3)=3.3+2.3-1=32$
$\underset{x\rightarrow 3}{lim}(x^{3}+2x-1)=\underset{x\rightarrow 3}{lim}x^{3}+2.\underset{x\rightarrow 3}{lim}x-1=3^{3}+2.3-1=32$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 3}{lim}f(x)=f(3)$

Vậy, f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀ = 3

Ví dụ 2: Xét tính liên tiếp của hàm số nó = g(x) bên trên x0=2, biết:
$g(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{x^{3}-8}{x-2},x\neq 2\\
5,x=2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Ta với g(2)=5

$\underset{x\rightarrow 2}{lim}g(x)=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{x^{3}-8}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}\frac{(x-2)(x^{2}+2x+4)}{x-2}=\underset{x\rightarrow 2}{lim}(x^{2}+2x+4)=12$

$\Rightarrow \underset{x\rightarrow 2}{lim}f(x)\neq g(2)$

Vậy, g(x) ko liên tiếp bên trên điểm x₀ = 2

1.4. Dạng 4: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một điểm

Theo lý thuyết và đã được học tập, hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên điểm $\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

Dựa theo gót khái niệm, nhằm dò xét ĐK vừa lòng hàm số liên tiếp bên trên 1 điều, tất cả chúng ta cần thiết tuân theo công việc sau đây:

• Bước 1: Xác tấp tểnh coi hàm số đề bài bác với xác lập bên trên điểm x₀ tiếp tục cho tới hay là không. Tính f(x₀).

• Bước 2: Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1

• Bước 3: Hàm số f(x) liên tiếp bên trên điểm x₀, suy đi ra $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}=f(x_{0})$

• Bước 4: Kết luận độ quý hiếm của m.

Cùng xét ví dụ minh họa tại đây nhằm hiểu rộng lớn về dạng bài bác tập luyện này nhé!

Ví dụ 1: Tìm thông số m nhằm hàm số liên tiếp bên trên điểm x=1:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2-3x+2}} và khi \, x \neq 1\\ 
-3mx-1 và khi \, x = 1
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Ta thấy hàm số tiếp tục xác lập bên trên x = 1, f(1) = -3m.1-1.

Tính số lượng giới hạn của hàm số bên trên điểm x = 1:

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2-7x+5x^{2}}{x^{2}-3x+2}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(x-1)(5x-2)}{(x-1)(x-2)}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{5x-2}{x-2}=-3$

Ta với, hàm số f(x) liên tiếp bên trên x0=1 khi: 

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=f(1)\Leftrightarrow -3m-1=3\Leftrightarrow m=\frac{-2}{3}$

Kết luận: m = -3

Ví dụ 2: 

Giải:

Hàm số tiếp tục cho tới liên tiếp bên trên điểm x = 1, suy đi ra $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x) = f(1) = m$

$\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x^{3}+ax^{2}-4x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{2x(x-1)^{2}+(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}=\underset{x\rightarrow 1}{lim}[2x+\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}]$

=$2+\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$

Vì $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)$ với tồn bên trên nên $\underset{x\rightarrow 1}{lim}\frac{(a+4)x^{2}-6x+b}{(x-1)^{2}}$ tồn bên trên (a + 4)x² - 6x + b = 0, nhận x = một là nghiệm kép.

Do vậy, phối kết hợp $x_{0}=\frac{6}{2(a+4)}=1$ và $\Delta=9-(a+4)b=0$ tao được a = -1; b = 3

Suy ra: $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=2+3=5\Rightarrow m=5$

Vậy, đáp án nên chọn là B.

1.5. Dạng 5: Tìm ĐK nhằm hàm số liên tiếp bên trên một khoảng tầm, đoạn hoặc tập luyện xác định

Để giải dạng bài bác tập luyện xét tính liên tiếp của hàm số bên trên khoảng tầm đoạn hoặc tập luyện xác lập, tao cần dùng ĐK nhằm hàm số liên tiếp kết phù hợp với ĐK nhằm phương trình với nghiệm.

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên x₀: $\underset{x\rightarrow x_{0}}{lim}f(x)=f(x_{0})$

• Điều khiếu nại nhằm hàm số liên tiếp bên trên tập luyện D này đó là f(x) nên liên tiếp bên trên từng điểm nằm trong D.

• Phương trình f(x) = 0 với tối thiểu một nghiệm bên trên tập luyện D khi hàm số nó = f(x) liên tiếp bên trên D, với nhì số a,b nằm trong D sao cho tới f(a).f(b) < 0.

• Phương trình f(x)= 0 với k nghiệm bên trên tập luyện D khi hàm số f(x) liên tiếp bên trên D và tồn bên trên k rời nhau (a_i;a_i+1) (i=1,2,...,k) ở trong tập luyện D vừa lòng f_(ai).f_(ai+1) < 0.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xác tấp tểnh a nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập luyện R

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2} và khi \, x <2\\ 
(1-a)x và khi \, x\geq 2
\end{matrix}\right.$

Giải:

Hàm số f(x) xác lập bên trên R

• x < 2 thì hàm số liên tục

• x > 2 thì hàm số liên tục

• x = 2, tao có:

$\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}(1-a)x=(1-a)2=f(2)$

$\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{a^{2}(x-2)}{\sqrt{x+2}-2}=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}a^{2}(\sqrt{x+2}+2)=4a^{2}$

Như vậy, hàm số liên tiếp bên trên R $\Rightarrow$ Hàm số liên tiếp bên trên x = 2.

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow 4a^{2} =(1-a)2$

$\Leftrightarrow a=-1, a=0.5$

Vậy a nhận 2 độ quý hiếm là a = -1, a = 0.5

Ví dụ 2: Tìm độ quý hiếm m nhằm hàm số tại đây liên tiếp bên trên tập luyện R:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} và khi \, x >0\\ 
2x^{2}+3m+1 và khi \, x\leq 0
\end{matrix}\right.$

Giải: 

Với x < 0: hàm số liên tục

Với x > 0: hàm số liên tục

Với x = 0, tao có:

$\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}(x)=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}\frac{1}{(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)=x0-(2x2+3m+1)=3m+1=f(0)$

Vậy, hàm số bên trên liên tiếp bên trên R => hàm số f(x) liên tiếp bên trên x = 0

$\Leftrightarrow \underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}=3m+1$

$\Leftrightarrow m=\frac{-1}{6}$

Kết luận: Giá trị m cần thiết dò xét là $m=\frac{-1}{6}$

1.6. Dạng 6: Ứng dụng hàm số liên tiếp nhằm chứng tỏ phương trình với nghiệm

Để chứng tỏ được phương trình với nghiệm vận dụng tính liên tiếp của hàm số, tao cần thiết tổ chức theo gót công việc sau đây:

• Bước 1: Biến thay đổi phương trình đề bài bác cho tới trở nên dạng f(x) = 0

• Bước 2: Tìm độ quý hiếm 2 số a và b (a < b) vừa lòng ĐK f(a).f(b) < 0

• Bước 3: Chứng minh nhằm hàm số f(x) liên tiếp bên trên [a;b]. Từ bại tao suy đi ra được phương trình f(x) = 0 với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong đoạn (a;b).

Ta nằm trong xét những ví dụ sau nhằm hiểu rộng lớn về phong thái phần mềm hàm số liên tiếp chứng tỏ phương trình với nghiệm.

Ví dụ 1: Chứng minh phương trình 4x³ - 8x² + 1= 0 với nghiệm nằm trong (-1;2)

Giải:

Ta có:

f(x) = 4x³ - 8x² + 1 liên tiếp bên trên tập luyện R.

$\Rightarrow f(-1)=-11, f(2)=1\Rightarrow (-1).f(2)<0$

Theo đặc thù hàm số liên tiếp, phương trình đề bài bác với tối thiểu 1 nghiệm nằm trong (-1;2).

Ví dụ 2: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 với tối thiểu 2 nghiệm trong vòng (-1;1)

Giải:

Xét f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3 suy đi ra f(x) liên tiếp bên trên R.

Ta có:

f(-1) = 4 + 2 + 1 - 3 = 4

f(0) = -3

f(1) = 2

Do f(-1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm vô (-1;0)

Do f(1).f(0) < 0 nên phương trình với nghiệm vô (0;1)

Vì 2 khoảng tầm (-1;0) và (0;1) ko uỷ thác nhau, nên phương trình đề bài bác với tối thiểu 2 nghiệm nằm trong khoảng tầm (-1;1).

2. Bài tập luyện áp dụng về tính chất liên tiếp của hàm số

Dưới đó là 10 bài bác tập luyện trắc nghiệm áp dụng tính liên tiếp của hàm số giành cho những em học viên rèn luyện hằng ngày. Cùng lưu về tìm hiểu thêm nhé!

Bài 1: Cho hàm số:

$f(x)\left\{\begin{matrix}
a^{2}x^{2} , x\leq \sqrt{2},a\epsilon R\\
(2-a)x^{2},x> \sqrt{2}
\end{matrix}\right.$

Giá trị của a nhằm f(x) liên tiếp bên trên R là:

A. 1 và 2    B. 1 và -1    C. -1 và 2    D. 1 và -2

Giải chi tiết:

Bài 2: Cho hàm số

Đáp án: B

Bài 3: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Hàm số liên tiếp bên trên x khi: $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)=f(0) \Leftrightarrow a+2=1\Leftrightarrow a=-1$

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 5: Cho hàm số:

Giải chi tiết: 

Chọn đáp án B vì như thế x = 2 ko nằm trong với tập luyện xác lập của f(x).

Bài 6: Khẳng tấp tểnh này trúng trong số xác định bên dưới đây:

Đáp án A.

Bài 7: Khẳng tấp tểnh này bên dưới đó là xác định đúng?

Đáp án: B

Bài 8: Cho hàm số:

Đáp án B.

Bài 9: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Bài 10: Cho hàm số:

Giải chi tiết:

Đăng ký tức thì nhằm nhận hoàn toàn cỗ kỹ năng và kiến thức và những dạng bài bác tương quan cho tới tính liên tiếp của hàm số

Trên đó là toàn cỗ 6 phương pháp xét tính liên tiếp của hàm số thuộc chương trìnhToán 11 với kèm cặp ví dụ minh họa và cỗ bài bác tập luyện rèn luyện hằng ngày. Hy vọng rằng sau nội dung bài viết này, những em học viên tiếp tục học tập tăng được những tài năng nhằm xử lý dạng toán này đơn giản rộng lớn. Hãy truy vấn trang web dạy dỗ Vuihoc.vn hoặc trung tâm tương hỗ nhằm học tập tăng nhiều kỹ năng và kiến thức toán trung học phổ thông nhằm mục đích sẵn sàng hành trang cho tới kỳ đua trung học phổ thông Quốc gia tiếp đây nhé!

     Tham khảo thêm:

⭐Bộ Sách Thần Tốc Luyện Đề Toán - Lý - Hóa THPT Có Giải Chi Tiết